B3なつやすみ(よんじゅういちにちめ)

11:30起床。ご飯を食べた後、東屋先生の論文をゼミで発表するかもしれないし、そうじゃないかも知れないけど、読んだ。用語の定義で調べてもなかなか出てこないやつが未定義で書かれていたのを色々調べたり、いくつか証明を別の論文に投げられてる主張とか具体例作りとかをその論文達が見つからないので気合で示そうとした。いくつかはなんとなく上手く回りそうだけど、回らないものもあったので、しんどいなぁってなってる。無難に本の発表をして、もう少し余裕が出来たらこれの発表をする事に落ち着きそう。
その後は、ミルナーの微分トポロジーの本の予習をした。Twitterで喋ってたけど、代数学の基本定理の微分トポロジーを用いた(微分トポロジーなんてたいそうなものではなくて、B3の標準的な多様体論で解決するレベルの道具だけど)証明がかなり面白かった。
道具としては、｢M,Nは次元の等しい滑らかな多様体で、Mはコンパクト、f:M→Nを滑らかな写像としy∈Nを正則値とする。この時f^(-1)(y)は有限集合となる。またyにf^(-1)(y)の元の個数を対応させる写像は局所定数写像であること｣
｢連結集合上定義された、局所定数関数は定数関数になる｣
を用いる。
いま定数でない多項式をC→Cという関数とみてそれにより誘導される(立体射影を用いる)S^2→S^2という滑らかな写像が有限個の臨界値を持つことを示して、それと上の主張と組み合わせることで多項式関数の全射性が示される。(詳細はミルナーの本を見てください。とはいえミルナーの本にもアウトラインしか書いてないのでかなりの部分を自分で詰める必要があったけど。)
一応代数学の基本定理の証明は7個追ったことになるけどどれも様々な道具の強さを示すもので、とりあえず新しい道具が手には行ったら代数学の基本定理をボコっておく風潮でもあるのか？ってなってる。まあ面白いのでヨシ！
『Topology from the Differential Viewpoint』確かに速習用なんだなと思うけど、きちんとここはほんまか？って確かめながら読んでいくとなかなか歯ごたえがある本なのでは？ってなってる。上で書いたやつもこうすれば良いとかこんなのを作ればいけるやで見たいな感じで書かれているのである程度自分で行間を埋める必要がある。けど、良い幾何の演習だなぁってなってるので今のところは楽しい。
18:30からバイト。疲れた。
夜は少しミルナーの本の続きを読んでその後は永田先生の『大学院への代数学』の問題を数問解いた。簡単目なGalois理論の問題を解いた。東工大のも出てたけど、本番これぐらいの難易度ならとても気が楽だなぁってなってる。まあある程度難易度が上振れても焦らない程度には勉強するつもり。というかこれぐらいの事を使いこなせないと将来困るので院試に関係なくしっかりと演習をやらないとなぁってなってる。